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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 16

Calcular ∬_R^() ln ( x^2 + y^2 ) d x d y , sendo R o anel delimitado por x^2 + y^2 = 16 e x^2 + y^2 = 25 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

16 <= x^2 + y^2 <= 25

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

16 <= r^2 <= 25

4 <= r <= 5

Desse modo, temos que:

4 <= r <= 5

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Substituindo na equação dada, obtemos:

int_0^(2 pi) int_4^5 ln r^2 * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_4^5 r ln r^2 d r = r^2 ln r - (r^2)/(2)

Aplicando os limites:

(25 ln 5 - 16 ln 4) - (1)/(2) (25 - 16) = 25 ln 5 - 16 ln 4 - (9)/(2)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) ( 25 ln 5 - 16 ln 4 - (9)/(2) ) d theta = (25 ln 5 - 16 ln 4 - (9)/(2)) theta

Aplicando os limites:

(25 ln 5 - 16 ln 4 - (9)/(2)) (2 pi - 0) = 2 pi (25 ln 5 - 16 ln 4 - (9)/(2))

ln 4 = 2 ln 2

2 pi (25 ln 5 - 16 ln 4 - (9)/(2)) = 2 pi (25 ln 5 - 32 ln 2 - (9)/(2))

Resposta

2 pi (25 ln 5 - 32 ln 2 - (9)/(2))

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