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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 16

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 2 2 ∫ 4 - y 2 y d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

x = 4 - y 2

x = y

E fazendo o esboço dessas funções, temos:

Assim temos que:

x = y

r cos ⁡ θ = r   s e n θ

θ = π 4

E tendo que plea figura que θ vai até π 2 .

Para r, vemos que vai de 2, e até o ponto dado pela intgeral, ou seja:

y = 2

r   s e n θ = 2

r = 2 s e n θ = 2   c o s s e c ( θ )

Passo 3

Assim:

∫ 2 2 ∫ 4 - y 2 y d y   d x = ∫ π 4 π 2 ∫ 2 2   c o s s e c θ   d r   d θ

∫ π 4 π 2 r 2 2   c o s s e c θ d θ

∫ π 4 π 2 2 c o s s e c 2 θ - 2 d θ

1 2 ∫ π 4 π 2 c o s s e c 2 θ - 1 d θ

- 2 c o t g θ - 1 2 θ π 6 π 2

2 - π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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