Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 17
Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
Passo 1
Faaaala, cara! Tranquileba?
Das coordenadas polares temos que:
E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.
E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é
Passo 2
Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.
Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.
Neste caso temos as funções:
E temos a seguinte figura se fizermos o esboço das funções:
Dado que os limites de integração dados pela segunda integral são de [-1,0], temos que:
Feito isto, vamos para a função dada. Temos que:
Sabendo que:
Passo 3
Assim:
Sabendo que
Resposta
E o valor da integral é: