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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.4 - Ex. 20

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1 d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

x = - 1 - y 2

x = 1 - y 2

E se fizermos o esboço dessas funções, temos:

Dado que os limites de integração dados pela segunda integral são de [ - 1,1 ], podemos tomar r de [0,1] e multiplicarmos por 4, assim conseguimos o valor do circulo todo. Assim:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Feito isto, vamos para a função dada. Temos que:

ln ⁡ x 2 + y 2 + 1

Sabendo que:

x 2 + y 2 = r 2

Logo:

ln ⁡ r 2 + 1

Passo 3

Assim:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1 d x   d y = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ln ⁡ r 2 + 1 r   d r   d θ

Façamos u = r 2 + 1 , logo d u = 2 r d r , e quando r = 0 ,   u = 1 e para r = 1 ,   u = 2

4 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 1 2 ln ⁡ u d u   d θ

Agora, façamos ln ⁡ u = u e d v = d r

Assim:

4 ∫ 0 π 2 1 2 ∫ 1 2 u   d v d θ

Da técnica de integração temos que:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u + C

Assim:

4   ∫ 0 π 2 1 2 u ln ⁡ u 1 2 - ∫ 1 2 1   d u d θ

4   ∫ 0 π 2 1 2 u ln ⁡ u - u 1 2   d θ

4   ∫ 0 π 2 1 2 2 ln ⁡ 2 - 2 + 1 d θ

4   ∫ 0 π 2 ln ⁡ 2 - 1 2 d θ

4 ln ⁡ 2 - 1 2 θ 0 π 2

2 π ln ⁡ 2 - 1 2

π ln ⁡ 4 - 1

Resposta

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + 1 d x   d y = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ln ⁡ r 2 + 1 r   d r   d θ

E o valor da integral é:

π ( l n ⁡ ( 4 ) - 1 )

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Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y = 1 , x y = 2 , y = x e y = 4 + x .