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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 30

Resolver o Exercício 29 para vec f = (x y^2 , x^2 y) .

Passo 1

Mas o que nos pede o Exercício 29?

Calcular a integral do campo vetorial vec f = ( - y , x ) ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:

  1. Circunferência de centro na origem e raio 2;
  2. Elipse x^2 + 36 y^2 = 36 ;
  3. triângulo de vértices ( 1,1 ) , ( - 1,1 ) e ( 0 , - 1 ) ;

Passo 2

  1. Primeiro precisamos parametrizar nossa curva, o que na verdade até que é fácil, visto que nos foi dado que ela tem centro na origem e raio 2. Assim nossa parametrização no senti anti-horário será

    2. vec r (t) = (2 cos t , 2 s e n t)

    Ficando assim com

    d vec r (t) = (- 2 s e n t , 2 cos t) d t

    Como é uma superfície fechada, temos que t in [0,2 pi]

    Precisamos resolver a seguinte integral

    int_A^B vec f * d vec r = int_0^(2 pi) vec f (vec r (t)) * d vec r (t)

    Temos que

    vec f (vec r (t)) = 8 ( cos t s e n^2 t , s e n t cos^2 t )

    e

    vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = 16 (cos t s e n^3 t + s e n t cos^3 t) d t =

    Vamos simplificar nossa função

    cos t s e n^3 t + s e n t cos^3 t = ( cos t s e n t ) ( cos^2 t - s e n^2 t )

    (s e n (2 t))/(2) cos (2 t) = (s e n (4 t))/(4)

    Assim teremos que

    vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = 4 s e n ( 4 t )

    Onde já podemos adiantar que a integral tanto de seno quanto do cosseno entre 0 e 2 pi é nulo, logo temos

    int_0^(2 pi) 4 s e n ( 4 t ) d t = 0

    Passo 3

  2. Primeiro precisamos parametrizar nossa curva. Primeiro vamos resumir a equação da nossa elipse a

    3. (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1

    Assim teremos

    ((x)/(6))^2 + y^2 = 1

    Dessa forma podemos parametrizar nossa curva da seguinte maneira

    vec r (t) = (6 cos t , s e n t)

    Ficando assim com

    d vec r (t) = (- 6 s e n t , cos t) d t

    Como é uma superfície fechada, temos que t in [0,2 pi]

    Precisamos resolver a seguinte integral

    int_A^B vec f * d vec r = int_0^(2 pi) vec f (vec r (t)) * d vec r (t)

    Temos que

    vec f (vec r (t)) = ( 6 cos t s e n^2 t , 36 s e n t cos^2 t )

    e

    vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = 36 (cos t s e n^3 t + s e n t cos^3 t) d t =

    Vamos simplificar nossa função

    cos t s e n^3 t + s e n t cos^3 t = ( cos t s e n t ) ( cos^2 t - s e n^2 t )

    (s e n (2 t))/(2) cos (2 t) = (s e n (4 t))/(4)

    Assim teremos que

    vec f (vec r (t)) * d vec r (t) = 9 s e n ( 4 t )

    Onde já podemos adiantar que a integral tanto de seno quanto do cosseno entre 0 e 2 pi é nulo, logo temos

    int_0^(2 pi) 9 s e n ( 4 t ) d t = 0

    Passo 4

  3. Dos nossos segmentos, seguem as seguintes parametrizações respectivamente

vec r_1 (t) = (1 - t , 1) , t in [0,2]

vec r_2 (t) = (- 1 + t , 1 - 2 t) , t in [0,1]

vec r_3 (t) = (t , - 1 + 2 t) , t in [0,1]

E assim ficamos com

vec f (vec r_1 (t)) * d vec r_1 = (1 - t , (1 - 2 t)^2) * (- d t , 0) =

= (t - 1) d t

vec f (vec r_2 (t)) * d vec r_2 = ((- 1 + t) (1 - 2 t)^2 , (- 1 + t)^2 (1 - 2 t)) * (d t , - 2 d t) =

= (8 t^3 - 18 t^2 + 13 t - 3) d t

vec f (vec r_3 (t)) * d vec r_3 = (t (- 1 + 2 t)^2 , (- 1 + 2 t) t^2) * (d t , 2 d t) =

= (8 t^3 - 6 t^2 + t) d t

Assim podemos finalmente correr para nossa integral

int_C vec f (vec r (t)) * d vec r = int_0^2 (t - 1) d t + int_0^1 (16 t^3 - 24 t^2 + 14 t - 3) d t

= [(t^2)/(2) - t]_0^2 + [4 t^4 - 8 t^3 + 7 t^2 - 3 t]_0^1 = 2 - 2 + 4 - 8 + 7 - 3 = 0

Resposta

  1. 0
  2. 0
  3. 0
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13. Determinar o trabalho realizado pela força f → = e x + y z , x z , x y para deslocar uma partícula ao longo da intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = x 2 + y 2 do ponto A(1,1, 2 ) a
Represente geometricamente o campo vetorial dado.f) v → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.d) v → x , y = 1 - x 2 j → , x1
Represente geometricamente o campo vetorial dado.e) F → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.b) h → x , y = i → + j →