Calcular a integral do campo vetorial ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:
Circunferência de centro na origem e raio 2;
Elipse
triângulo de vértices , e ;
Passo 2
Primeiro precisamos parametrizar nossa curva, o que na verdade até que é fácil, visto que nos foi dado que ela tem centro na origem e raio 2. Assim nossa parametrização no senti anti-horário será
Ficando assim com
Como é uma superfície fechada, temos que
Precisamos resolver a seguinte integral
Temos que
e
Vamos simplificar nossa função
Assim teremos que
Onde já podemos adiantar que a integral tanto de seno quanto do cosseno entre e é nulo, logo temos
Passo 3
Primeiro precisamos parametrizar nossa curva. Primeiro vamos resumir a equação da nossa elipse a
Assim teremos
Dessa forma podemos parametrizar nossa curva da seguinte maneira
Ficando assim com
Como é uma superfície fechada, temos que
Precisamos resolver a seguinte integral
Temos que
e
Vamos simplificar nossa função
Assim teremos que
Onde já podemos adiantar que a integral tanto de seno quanto do cosseno entre e é nulo, logo temos
Passo 4
Dos nossos segmentos, seguem as seguintes parametrizações respectivamente
E assim ficamos com
Assim podemos finalmente correr para nossa integral