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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 11

Calcule ∫ γ 2 y d x + z d y + x d z , onde γ é a interseção das superfícies x 2 + 4 y 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1 , 0 , 0 para o ponto - 1 , 0,0 .

Passo 1

Acho que como quase todos os problemas que encontramos em nosso livro, existe uma necessidade de recordarmos nossas aulas de Geometria Analítica. Por sorte temos um exercício fácil, mas um pouco trabalhoso.

Passo 2

Primeiro vamos definir nossa curva que é a que encontramos na interseção entre as duas superfícies. Assim tome

x 2 + 4 y 2 = x 2 + z 2 → z = 2 y

Uma reta.

Assim como parametrização

y = s e n   θ 2

teremos

z = sen ⁡ θ

então

x = cos ⁡ θ

E uma vez que escolhemos essa parametrização, teremos

d x = - s e n   θ   d θ

d y = cos ⁡ θ 2   d θ

d z = cos ⁡ θ   d θ

Com nosso intervalo variando de 0 à π

Passo 3

Agora podemos reescrever nossa integral como

∫ 0 π s e n   θ   - s e n   θ   d θ + s e n   θ cos ⁡ θ   d θ 2 + cos 2 ⁡ θ d θ   =

= ∫ 0 π - s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + 1 2 s e n   θ cos ⁡ θ d θ

Vamos usar a relação

s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

e

cos 2 ⁡ θ = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ )  

Assim temos que

-   s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ

Nos deixando com

∫ 0 π ( cos ⁡ 2 θ + 1 2 s e n   θ cos ⁡ θ )   d θ

A primeira integral é tranquila e a segunda fazemos s e n   θ = u → cos ⁡ θ   d θ = d u . Assim

s e n   2 θ 2 0 π + 1 2 ∫ 0 0 u   d u = 0

Ou seja, a integral é nula

Resposta

0

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )
Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r → ( t ) , a ≤ t ≤ b , e v → é um vetor constante, mostre que ∫ C v → ⋅ d r → = v → ⋅ r → b - r → a