Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 11
Calcule , onde é a interseção das superfícies e , e , sendo o sentido de percurso do ponto para o ponto .
Passo 1
Acho que como quase todos os problemas que encontramos em nosso livro, existe uma necessidade de recordarmos nossas aulas de Geometria Analítica. Por sorte temos um exercício fácil, mas um pouco trabalhoso.
Passo 2
Primeiro vamos definir nossa curva que é a que encontramos na interseção entre as duas superfícies. Assim tome
Uma reta.
Assim como parametrização
teremos
então
E uma vez que escolhemos essa parametrização, teremos
Com nosso intervalo variando de à
Passo 3
Agora podemos reescrever nossa integral como
Vamos usar a relação
e
Assim temos que
Nos deixando com
A primeira integral é tranquila e a segunda fazemos . Assim
Ou seja, a integral é nula
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r t ,a ≤ t ≤ b , mostre que ∫ C r ⋅ d r = 1 2 r b 2 - r a 2
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → x , y , z = x - y 2 ⋅ i → + y - z 2 ⋅ j → + z - x 2 ⋅ k → sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de 0,0 , 1 a 2,1 , 0
Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r → ( t ) , a ≤ t ≤ b , e v → é um vetor constante, mostre que ∫ C v → ⋅ d r → = v → ⋅ r → b - r → a