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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 1d

Calcule

oint_c f d S

1.d

f (x , y , z) = e^(sqrt(z))

E C é definida por

sigma (t) = (1,2 , t^2)

0 <= t <= 1

Passo 1

Oiii, existe um pequeno erro conceitual nessa questão. Usamos ds para designar uma seção de área, já dr usamos para uma seção de segmento de reta. Beleza? Queremos então calcular

oint_c f d r

Um jeito de calcular isso é parametrizar nossa superfície r

r = sigma (t)

d r = d (sigma (t)) -> sigma ' (t) d t

Como estamos com um campo escalar, não podemos simplesmente plotar o vetor sigma ' (t) d t na integral. Temos que transforma-lo em um escalar

v e t o r -> e s c a l a r

sigma^' (t) d t -> |sigma^' (t)| d t

Então se parametrizarmos essa reta ficamos com

int_(t_0)^(t_1) f (sigma (t)) * | sigma^' (t) | d t

Beleza!!! Vamos cair dentro \o/

Passo 2

Vamos preparar nossas funções para a integral. Vamos parametrizar nossa função

f (sigma (t)) -> e^(sqrt(t^2)) = e^t

Agora vamos calcular o modulo de sigma^' (t)

sigma (t) = (1,2 , t^2)

sigma^' (t) = (0,0 , 2 t)

|sigma^' (t)| = sqrt(0^2 + 0^2 + (2 t)^2) -> 2 t

Agora so falta descobrirmos os intervalos de integração, o que o enunciado nos ajuda bastante ao dizer

0 <= t <= 1

Beleza, já temos tudo o que precisamos. Então nossa integração parametrizada fica

int_(t_0)^(t_1) f (sigma (t)) * | sigma^' (t) | d t

int_0^1 e^t * (2 t) d t

Essa integral nos resolver por integração por partes. Se você não lembra funciona assim, pegamos a regra da cadeia

(f * g)^' = f^' g + f g '

E integramos

int (f * g)^' d t = int f^' g d t + int f g ' d t

f * g = int f^' g d t + int f g ' d t

Agora nós dizemos que a função que queremos integrar é

int f^' g d t

E pela aquela igualdade de cima terá a seguinte correlação

int f^' g d t = f * g - int f g ' d t

Entao

int_0^1 e^t * (2 t) d t = ([2 e^t t - 2 int e^t d t]|_0^1

= 2 ([t e^t - e^t]|_(t = 0)^1

= 2 [(e - e) - (0 - e^0)]

= 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

oint_c f d S = 2

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Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) . F x ,y ,z = x + y 2 i + x z j + y + z k ,r t = t 2 i + t 3 j - 2 t k ,0 ≤ t ≤ 2