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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 1e

Calcule

∮ c f   d S

1.e

f x , y , z = y z

E C é o segmento de reta de extremidades 0,0 , 0 e 1,3 , 2

Passo 1

Oiii, existe um pequeno erro conceitual nessa questão. Usamos ds para designar uma seção de área, já dr usamos para uma seção de segmento de reta. Beleza? Queremos então calcular

∮ c f   d r

Um jeito de calcular isso é parametrizar nossa superfície r

r = σ t

d r = d σ t → σ ' t d t

Como estamos com um campo escalar, não podemos simplesmente plotar o vetor σ ' t d t na integral. Temos que transforma-lo em um escalar

v e t o r → e s c a l a r  

σ ' t d t → σ ' t d t

Então se parametrizarmos essa reta ficamos com

∫ t 0 t 1 f σ t ⋅ | σ ' t |   d t

Beleza!!! Vamos cair dentro \o/

Passo 2

Vamos preparar nossas funções para integral. Vamos parametrizar nossa função. Vamos achar uma parametrização bacana. C é o segmento de reta de extremidades 0,0 , 0 e 1,3 , 2 . Entao uma parametrização bem simples seria

σ t = t ,   3 t   ,   2 t

Vamos preparar nossa função escalar para a integral. Vamos parametrizar nossa função

f σ t → 3 t ⋅ 2 t = 6 t 2  

Agora vamos calcular o modulo de σ ' t

σ ' t = 1 , 3,2

σ ' t = 1 2 + 3 2 + 2 2

= 14

Agora precisamos achar os intervalos de integração

σ t = t ,   3 t   ,   2 t

0,0 , 0 → 1,3 , 2

Logo podemos dizer que

t ∈ 0,1

Beleza, já temos tudo o que precisamos. Então nossa integração parametrizada fica

∫ t 0 t 1 f σ t ⋅ | σ ' t |   d t

∫ 0 1 6 t 2 ⋅ 14 d t

= 6 14 t 3 3 0 1

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ c f   d S = 2 14

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