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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4f

4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

f. F   x , y , z = y z , x z , x y + 1 e C é a fronteira do triangulo de vértices 0,0 , 0 ,   1,1 , 1 ,   - 1,1 , - 1 percorrida nessa ordem

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro!!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a fronteira do triangulo de vértices 0,0 , 0 ,   1,1 , 1 ,   - 1,1 , - 1

Logo teremos 3 retas. E também , 3 parametrizações

γ 1 t = t , t , t

γ 1 ' t = 1,1 , 1

t ∈ 0,1

Agora a segunda parametrização

γ 2 t = t , 0 , t

γ 2 ' t = 1 , 0 , 1

t ∈ 1 , - 1

E por fim a ultima parametrização

γ 3 t = t , - t , t

γ 3 ' t = 1 , - 1,1

t ∈ - 1 , 0

Agora basta parametrizarmos nossa função

F   x , y , z = y z , x z , x y + 1

F   γ 1 t = t 2 , t 2 , t 2 + t

F   γ 2 t = 0 , t 2 , t

F   γ 3 t = - t 2 , t 2 , - t 2 + t

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

∫ 0 1 t 2 , t 2 , t 2 + t ⋅ 1,1 , 1 d t +   ∫ 1 - 1 0 , t 2 , t ⋅ 1,0 , 1 d t +   ∫ - 1 0 - t 2 , t 2 , - t 2 + t ⋅ 1 , - 1,1 d t

= ∫ 0 1 3 t 2 + t d t +   ∫ 1 - 1 ( t ) d t +   ∫ - 1 0 ( - 3 t 2 + t ) d t

=   t 3 + t 2 2 0 1 + t 2 2 1 - 1 + - t 3 + t 2 2 - 1 0

= 1 + 1 2 + 1 2 - 1 2 - 1 - 1 2

= 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → =   0

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