Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 16
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.
Aqui queremos encontrar a derivada direcional da função:
Na direção:
No ponto:
Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:
Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:
Neste caso, o vetor dado não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais:
Achando a derivada parcial em relação a :
Veja que precisamos aplicar a regra da cadeia aqui:
Temos então:
Faremos de forma semelhantes para todas as outras derivadas parciais:
E:
Temos que nosso vetor gradiente é então:
Passo 3
Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:
Substituindo:
Para achar o vetor temos:
O vetor unitário é então:
Passo 4
Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário , como visto na fórmula apresentada no passo 1: