Enunciado

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.

f x , y , z = x y z

3,2 , 6

v = - 1 ,   - 2 ,   2

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui queremos encontrar a derivada direcional da função:

f x , y , z = x y z

Na direção:

v = - 1 ,   - 2 ,   2

No ponto:

3,2 , 6

Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z

Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

D u f =   ∇ f x , y , z ⋅ u

Neste caso, o vetor dado não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor   u .

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais:

f x , y , z = x y z

Achando a derivada parcial em relação a x :

Veja que precisamos aplicar a regra da cadeia aqui:

f x = g x ' ⋅ x y z '

Temos então:

f x = y z 2 x y z

Faremos de forma semelhantes para todas as outras derivadas parciais:

f y = x z 2 x y z

E:

f z =   x y 2 x y z

Temos que nosso vetor gradiente é então:

∇ f x , y =   f x , f y , f z =   y z 2 x y z , x z 2 x y z , x y 2 x y z

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f x , y = y z 2 x y z , x z 2 x y z , x y 2 x y z

Substituindo:

∇ f 3,2 , 6 = 1   , 3 2 , 1 2

Para achar o vetor temos:

v = - 1 ,   - 2 ,   2

v = - 1 2 + - 2 2 + 2 2

O vetor unitário é então:

u = v v = - 1 9 , - 2 9 , 2 9

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1:

D u f 3,2 , 6 = 1 , 3 2 , 1 2 ⋅ - 1 9 , - 2 9 , 2 9

D u f 3,2 , 6 = - 1

Resposta

D u f 3,2 , 6 = - 1

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