Enunciado

Suponha que as derivadas direcionais de f x ,   y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em caso afirmativo, como faz��-lo?

Passo 1

Galera, vamos considerar u = a ,   b e v = c ,   d . Segundo o enunciado, a gente conhece os valores de D u   f e D v   f . Mas lembre-se que podemos escrever essas derivadas direcionais assim:

D u   f = ∇ f ∙ u = a f x + b f y

D v   f = ∇ f ∙ v = c f x + d f y

Passo 2

Show! Com as equações encontradas anteriormente, temos um sisteminha a resolver que pode nos dar os valores de f x e de f y . Vamos começar isolando f x na primeira equação:

f x = D u   f - b f y a

E agora a gente substitui esse valor na segunda equação, pra podermos encontrar f y :

D v   f = c D u   f - b f y a + d f y

a   D v   f = c   D u   f - b c f y + a d f y

f y = a   D v   f - c   D u   f a d - b c

Passo 3

Beleza! Agora é só a gente substituir o valor de f y em f x pra descobrir f x :

f x = D u   f - b a   D v   f - c   D u   f a d - b c a

f x = a d - b c   D u   f - a b   D v   f + b c   D u   f a a d - b c

f x = d   D u   f - b   D v   f a d - b c

Então,

∇ f = f x ,   f y =         d   D u   f - b   D v   f a d - b c       ,         a   D v   f - c   D u   f a d - b c        

Resposta

∇ f =         d   D u   f - b   D v   f a d - b c       ,         a   D v   f - c   D u   f a d - b c        

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