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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 4

Calcular o volume do sólido delimitado por z = 8 - x 2 - 2 y 2 , no primeiro octante.

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Sabemos que estamos analisando no primeiro octante, e o que isso significa?

Que vamos analisar somente o intervalo para o qual x, y e z são maiores que zero!

Desenhando:

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O z será definido por:

z = 0

E:

z = 8 - x 2 - 2 y 2

Então:

0 ≤ z ≤ 8 - x 2 - 2 y 2

Já o x nós teremos:

x = 0

O maior valor de x é obtido quando z for igual a zero, certo?

0 = 8 - x 2 - 2 y 2

x = ± 8 - 2 y 2

Como nós queremos só o primeiro octante:

0 ≤ x ≤ 8 - 2 y 2

Obrigatoriamente:

8 - 2 y 2 ≥ 0

y ≤ ± 2

Que nos dá:

0 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ 0 8 - x 2 - 2 y 2 d z d x d y

Resolvendo:

∫ 0 8 - x 2 - 2 y 2 d z = z = 8 - x 2 - 2 y 2

Sendo assim:

= ∬ R ( 8 - x 2 - 2 y 2 ) d x d y

= ∫ 0 2 ∫ 0 8 - 2 y 2 ( 8 - x 2 - 2 y 2 ) d x d y  

Resolvendo a integral:

∫ 0 8 - 2 y 2 ( 8 - x 2 - 2 y 2 ) d x = 8 x - x 3 3 - 2 y 2 x

Aplicamos o intervalo:

= 8 8 - 2 y 2 - 8 - 2 y 2 3 3 - 2 y 2 ( 8 - 2 y 2 )

Então:

= ∫ 0 2 8 8 - 2 y 2 - 8 - 2 y 2 3 3 - 2 y 2 ( 8 - 2 y 2 ) d y

Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar por:

∫ 0 2 8 8 - 2 y 2 d y

Chamando:

y = 2 s e n   u

d y = 2 cos ⁡ u . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = 0 → u = 0

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π 2 8 8 - 8 s e n 2 ( u ) 2 cos ⁡ u . d u

= 16 ∫ 0 π 2 8 ( 1 - s e n 2 u ) cos ⁡ u . d u

Aplicando a identidade:

= 16 ∫ 0 π 2 8 cos 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ u . d u

= 16 × 2 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) . d u

Sabendo que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Então:

= 8 × 2 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 u ) . d u

Usando uma nova substituição:

= 8 × 2 2 u + 1 2 s e n   2 u

Aplicando o intervalo:

= 8 × 2 2 π 2 + 1 2 ( s e n   π - s e n   ( 0 ) = 8 × 2 2 × π 2

= 8 π 2

Já resolvemos uma, agora bora pra segunda:

∫ 0 2 8 - 2 y 2 3 3 d y

Vamos reorganizar:

8 - 2 y 2 = 2 4 - y 2 = 2 4 - y 2

= 1 3 ∫ 0 2 2 4 - y 2 3 d y = 2 2 3 ∫ 0 2 4 - y 2 3 d y

Aqui nós vamos resolver por partes, ok?

u = 4 - y 2 3 2

d u = 3 2 4 - y 2 1 2 . - 2 y d y →   d u = - 3 y 4 - y 2 1 2 . d y

d v = d y

v = y

Então:

2 2 3 ∫ 0 2 4 - y 2 3 d y = 2 2 3 y 4 - y 2 3 2 - ∫ 0 2 y - 3 y 4 - y 2 1 2 . d y

= 2 2 3 y 4 - y 2 3 2 + 3 ∫ 0 2 y 2 4 - y 2 1 2 d y

Aplicando o intervalo no primeiro termo:

= 2 2 3 3 ∫ 0 2 y 2 4 - y 2 1 2 d y

Vamos chamar:

y = 2 s e n   u

d y = 2 cos ⁡ u . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = 0 → u = 0

= 3 × 8 ∫ 0 π 2 4 s e n 2 ( u ) 4 - 4 s e n 2 u 1 2 ( 2 cos ⁡ u . d u )

= 3 × 8 ∫ 0 π 2 s e n 2 ( u ) 4 ( 1 - s e n 2 u ) 1 2 ( cos ⁡ u . d u )

Aplicando a identidade:

= 3 × 8 ∫ 0 π 2 s e n 2 ( u ) 4 c o s 2 u ) 1 2 ( cos ⁡ u . d u )

= 3 × 16 ∫ 0 π 2 s e n 2 u c o s 2 u . d u

Lembrando que:

s e n 2 u c o s 2 u = 1 - cos ⁡ ( 4 u ) 8

= 3 × 2 ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ ( 4 u ) ) . d u

= 6 u - ∫ 0 π 2 cos ⁡ ( 4 u ) . d u

Usando a substituição:

= 6 u - 1 4 s e n   ( 4 u )

Aplicamos o intervalo:

= 6 π 2 - 1 4 s e n   2 π - s e n   0 = 3 π

Substituindo na segunda integral:

= 2 2 3 3 π = 2 π 2

Passo 4

Agora vamos fazer a última integral, ok?

∫ 0 2 2 y 2 ( 8 - 2 y 2 ) d y

Vamos chamar:

y = 2 s e n   u

d y = 2 cos ⁡ u . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = 0 → u = 0

= ∫ 0 π 2 2 4 s e n 2 u 8 - 2 ( 4 s e n 2 ( u ) ( 2 cos ⁡ u . d u )

= 16 ∫ 0 π 2 s e n 2 ( u ) ( 8 ( 1 - s e n 2 ( u ) ) cos ⁡ u . d u

= 16 ∫ 0 π 2 s e n 2 ( u ) ( 8 . c o s 2 ( u ) ) cos ⁡ u . d u

= 16 × 2 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 ( u ) c o s 2 ( u ) d u

Já sabemos qual a identidade usar, certo?

= 2 × 2 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ ( 4 u ) d u

= 2 × 2 2 u - 1 4 s e n   ( 4 u )

Aplicando a identidade:

= 2 × 2 2 π 2 - 1 4 s e n   2 π - s e n   0

= 2 × 2 2 π 2 = 2 π 2

Agora bora usar os resultados do Passo 3 e 4 para lançar na integral do Passo 2:

∫ 0 2 8 8 - 2 y 2 - 8 - 2 y 2 3 3 - 2 y 2 ( 8 - 2 y 2 ) d y = 8 π 2 - 2 π 2 - 2 π 2

4 π 2

Gostaram?

Resposta

4 π 2

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