Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 9

Calcular o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x a + y b + z c = 1 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Como o tetraedro está limitado pelos planos coordenados nós teremos x ≥ 0 ,   y ≥ 0   e   z ≥ 0 .

Pela figura nós conseguimos ver que o z vai até o plano, certo?

z c = 1 - x a - y b

z = c - c a x - c b y

Então:

0 ≤ z ≤ c - c a x - c b y

Analisando o x nós vemos que ele também vai do zero até o plano e será máximo quando z = 0 :

x a = 1 - y b

x = a - a b y

Então:

0 ≤ x ≤ a - a b y

Para finalizar nós precisamos do y, e ele vai até seu coeficiente b:

0 ≤ y ≤ b

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = = ∬ R ∫ 0 c - c a x - c b y d z d x . d y

Resolvendo:

∫ 0 c - c a x - c b y d z = z = c - c a x - c b y

Sendo assim:

= ∬ R c - c a x - c b y d x . d y

= ∫ 0 b ∫ 0 a - a b y c - c a x - c b y d x d y  

Resolvendo a integral:

∫ 0 a - a b y c - c a x - c b y d x = c x - c a x 2 2 - c y b x

= c a - a b y - c a a - a b y 2 2 - c y b a - a b y

= a c - a c b y - c 2 a a 2 - 2 a 2 b y + a 2 b 2 y 2 - a c b y + a c b 2   y 2

= a c - a c b y - a c 2 + a c b y - a c 2 b 2 y 2 - a c b y + a c b 2   y 2

= a c 2 - a c b y + a c 2 b 2 y 2

Então:

= ∫ 0 b a c 2 - a c b y + a c 2 b 2 y 2 d y = a c 2 y - a c b y 2 2 + a c 2 b 2 y 3 3

Aplicando o intervalo:

= a b c 2 - a b c 2 + a b c 6

= a b c 6

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

a b c 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na Regra do Ponto médio para as Integrais Triplas usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla sobre uma caixa B, onde f ( x , y , z ) é calculada no centro ( x - , y - , z - ) da
Calcular o volume do tetraedro da Figura 8.32.
Calcular o volume do sólido delimitado por x 2 + y 2 = 4 , z = 0 e 4 x + 2 y + z = 16 .
Calcular o volume do sólido delimitado pelos planos y = 0 ,z = 0 ,x + y = 4 e pelo cilindro parabólico z = 1 - x 2 .
Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = 16 .