Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.

19. x^2 + z^2 = 4 e y^2 + z^2 = 4 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Vamos fazer diferente aqui!

Vamos primeiro isolar o x e, em seguida, o y, tudo bem?

O x vai ser limitado pelo cilindro:

x 2 + z 2 = 4

x = ± 4 - z 2

O x será definido por:

- 4 - z 2 ≤ x ≤ 4 - z 2

Já o y será limitado pelo cilindro:

y 2 + z 2 = 4

y = ± 4 - z 2

Então:

- 4 - z 2 ≤ y ≤ 4 - z 2

Obrigatoriamente:

4 - z 2 ≥ 0

z ≤ ± 2

Que nos dá:

- 2 ≤ z ≤ 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - z 2 4 - z 2 ∫ - 4 - z 2 4 - z 2 d x d y d z

Resolvendo:

∫ - 4 - z 2 4 - z 2 d x = x = 2 4 - z 2

Sendo assim:

= ∫ - 2 2 ∫ - 4 - z 2 4 - z 2 2 4 - z 2 d y d z

Resolvendo a segunda integral:

∫ - 4 - z 2 4 - z 2 2 4 - z 2 d y = 2 4 - z 2 y = 2 4 - z 2 2 4 - z 2

= 4 4 - z 2 = 16 - 4 z 2

Aplicando o resultado na última integral:

= ∫ - 2 2 16 - 4 z 2 d z = 16 z - 4 z 3 3

No intervalo:

= 16 [ 2 - - 2 ] - 4 3 [ ( 2 ) 3 - ( - 2 ) 3 ]

= 16 × 4 - 4 3 × 16

= 64 - 64 3

= 128 3

O que acharam desta?

Resposta

128 3

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