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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 3

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

3 .   z = 1 - x 2 ,   z = 0 ,   x + y = 4 e y = 0

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 1 - x 2 e inferiormente por z = 0 , considerando a rotação num plano x y z temos que a região de integração é dada por:

- 1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 4 - x

Passo 2

Assim, temos que o volume é dado por:

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 4 - x ( 1 - x 2 ) d y d x

Passo 3

Integrando para y :

∫ 0 4 - x ( 1 - x 2 ) d y = 1 - x 2 ⋅ y

Aplicando os limites:

1 - x 2 ⋅ 4 - x - 0 = x 3 - 4 x 2 - x + 4

Passo 4

Integrando para x :

∫ - 1 1 x 3 - 4 x 2 - x + 4 d x = x 4 4 - 4 x 3 3 - x 2 2 + 4 x

Aplicando os limites:

1 4 1 - 1 - 4 3 1 + 1 - 1 2 1 - 1 + 4 1 + 1 = - 8 3 + 8 = 16 3

Resposta

1 6 3   u . v .

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0