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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 8

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

8 .   z = 16 - 2 x 2 - y 2 e z = x 2 + 2 y 2

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente por z = 16 - 2 x 2 - y 2 , inferiormente por z = x 2 + 2 y 2 , considerando a rotação num plano x y z temos:

x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 16 - 2 x 2 - y 2

Teremos que utilizar a transformação para coordenadas polares, mas primeiramente vamos descobrir qual é o raio máximo que podemos alcançar igualando o máximo e mínimo de z :

x 2 + 2 y 2 = 16 - 2 x 2 - y 2

3 x 2 + y 2 = 16

x 2 + y 2 = 16 3

r 2 = 16 3

r = 4 3

Assim:

0 ≤ r ≤ 4 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Para adotarmos r = 4 3 , temos que adotar o volume como:

V = ∬ ( 16 - 2 x 2 - y 2 - x 2 - 2 y 2 ) d x d y = ∬ 16 - 3 x 2 + y 2 d x d y

Transformando em coordenadas polares, temos:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 3     16 - 3 r 2 ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 4 3     16 r - 3 r 3 d r = 8 r 2 - 3 r 4 4

Aplicando os limites:

16 3 - 0 ⋅ 8 - 256 9 - 0 ⋅ 3 4 = 128 3 - 64 3 = 128 - 64 3 = 64 3

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 64 3 d θ = 64 3 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 64 3 = 128 π 3

Resposta

128 π 3   u . v .

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Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = ± 1 , y = 0ey = 4 .
Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0ey = 1 .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0 e acima do retângulo R = { x , y ,- 1 ≤ x ≤ 2e - 1 ≤ y ≤ 1 } .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z = 3 y 2 - x 2 + 2 , e acima do retângulo R = - 1,1 × [ 1 , 2 ] .
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1,1 × [ - 2,2 ] .