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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 36

Dadas as funções x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) definidas pelo sistema

u = 2 x 2 + y 2 v = x - 2 y

determinar as derivadas parciais de 1 ª ordem de x e y em relação a u e v .

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são definidas pelas equações F x , y , u , v = 0 e G x , y , u , v = 0 . Assim,

F x , y , z = 0 G x , y , z = 0

Então, podemos reescrever a nossa equação como:

F x , y , u , v = 2 x 2 + y 2 - u G x , y , u , v = x - 2 y - v

Podemos determinar as derivadas parciais de x e y em relação a u e v com o auxílio da regra da cadeia. Mantendo v constante e derivando em relação a u , obtemos:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ u + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ u = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ G ∂ u ⋅ ∂ u ∂ u + ∂ G ∂ v ⋅ ∂ v ∂ u = 0

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u = - ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u = - ∂ G ∂ u

O sistema de equações lineares para as incógnitas ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u . Assim, nos pontos em que o detemrinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

∂ x ∂ u = - ∂ F ∂ u ∂ F ∂ y ∂ G ∂ u ∂ G ∂ y ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

∂ y d u = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ u ∂ G ∂ x ∂ G ∂ u ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Desse modo, as derivadas parciais de F e G são:

∂ F ∂ x = 4 x ;   ∂ F ∂ y = 2 y

∂ F ∂ u = - 1 ;   ∂ F ∂ v = 0

∂ G ∂ x = 1 ;   ∂ G ∂ y = - 2

∂ G ∂ u = 0 ;   ∂ G ∂ v = - 1

Passo 2

Assim, os valores para ∂ x ∂ u   e ∂ y ∂ u são:

∂ x ∂ u = - - 1 2 y 0 - 2 4 x 2 y 1 - 2 = - 2 - 8 x - 2 y

∂ x ∂ u = 1 4 x + y

∂ y ∂ u = - 4 x - 1 1 0 4 x 2 y 1 - 2 = - 1 - 8 x - 2 y

∂ y ∂ u = 1 8 x + 2 y

Passo 3

Para as derivadas em relação a v , fazemos passos parecidos com os anteriores. Mantendo u constante e derivando em relação a v :

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ v + ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ v = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ G ∂ v ⋅ ∂ v ∂ v + ∂ G ∂ u ⋅ ∂ u ∂ v = 0

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = - ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = - ∂ G ∂ v

O sistema de equações lineares para as incógnitas ∂ x ∂ v e ∂ y ∂ v . Assim, nos pontos em que o determinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

∂ x ∂ v = - ∂ F ∂ v ∂ F ∂ y ∂ G ∂ v ∂ G ∂ y ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

∂ y d v = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ v ∂ G ∂ x ∂ G ∂ v ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ G ∂ x ∂ G ∂ y

Passo 4

Assim, os valores para ∂ x ∂ v   e ∂ y ∂ v são:

∂ x ∂ v = - 0 2 y - 1 - 2 4 x 2 y 1 - 2 = - 2 y - 8 x - 2 y

∂ x ∂ v = y 4 x + y

∂ y d v = - 4 x 0 1 - 1 4 x 2 y 1 - 2 = - - 4 x - 8 x - 2 y

∂ y ∂ v = - 2 x 4 x + y

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ x ∂ u = 1 4 x + y

∂ y ∂ u = 1 8 x + 2 y

∂ x ∂ v = y 4 x + y

∂ y ∂ v = - 2 x 4 x + y

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