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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 28

Determine o volume do sólido dado.

Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:

V = ∬ D f x , y d A

Onde D é a região limitada na qual devemos integrar a função.

Temos que a equação da superfície é dada por:

z = f x , y = x

Uma análise rápida nos permite dizer os limites de integração. Temos que:

z = 0

Então:

x = 0

E:

y = 2 - x

Se y = x , temos que:

x + x = 2

Logo:

x = 1

Como x = 0 , então x está no intervalo:

0 ≤ x ≤ 1

E y está no intervalo:

x ≤ y ≤ 2 - x

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 2 - x  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x x d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x 2 - x x d y = x y x 2 - x

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y = x 2 - x - x ( x )

∫ 0 2 - x x d y = 2 x - 2 x 2

Logo, substituindo, temos:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - x x d y d x = ∫ 0 1 2 x - 2 x 2 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ 0 1 2 x - x 2 d x = 2 x 2 2 - 2 x 3 3 0 1

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 1 2 x - x 2 d x = 2 1 2 2 - 2 1 3 3 - 2 0 2 2 - 2 ( 0 ) 3 3

Resolvendo, temos:

∫ 0 1 2 x - x 2 d x = 1 - 2 3

∫ 0 1 2 x - x 2 d x = 1 3

Portanto, o volume será:

V = 1 3

Resposta

V = 1 3

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