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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 1a

Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .

vec F (t) = (3 t^2 , e^(- t) , ln ( t^2 + 1 ))

Passo 1

Para calcular a derivada de uma função vec F : A -> R^n , basta calcular a derivada de cada coordenada, para encontrar o vetor tangente.

Calculando a primeira derivada

(d vec F)/(d t) = (6 t , - e^(- t) , (2 t)/(t^2 + 1))

Passo 2

Calculando a segunda derivada, calculando separado a terceira coordenada separadamente, já que é um pouco mais complicada

((2 t)/(t^2 + 1))^' = (2 (t^2 + 1) - 2 t ( 2 t ))/((t^2 + 1)^2)

= (2 t^2 + 2 - 4 t^2)/((t^2 + 1)^2) = (2 - 2 t^2)/((t^2 + 1)^2)

Então temos

(d^2 vec F)/(d t^2) = (6 , e^(- t) , (2 - 2 t^2)/((t^2 + 1)^2))

Resposta

(d vec F)/(d t) = (6 t , - e^(- t) , (2 t)/(t^2 + 1))

(d^2 vec F)/(d t^2) = (6 , e^(- t) , (2 - 2 t^2)/((t^2 + 1)^2))

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