Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 15

Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Maximize o produto de x , y e z , sendo que a os três devem ter uma soma igual a 36”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x y z

g =   x + y + z - 36

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, a soma deve ser igual a 36).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = y z , x z , x y

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 1,1 , 1

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

y z , x z , x y = λ 1,1 , 1   x + y + z - 36 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

y z = λ x z = λ x y = λ   x + y + z - 36 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações. De fato, como x = λ y , o nosso sisteminha fica

y z = λ λ y z = λ λ y + y + z = 36

Isolando λ = y z , nos sobra:

1 y z = 1 z + y + z = 36

O resultado deste sisteminha fornece y = z = 12 . Voltando atrás um pouco, isto nos dá λ = y z = 144 e , voltando mais um pouco, temos x = λ y = 12 .

Logo, o ponto de produto máximo procurado se localiza em:

12 ,   12 ,   12

Resposta

12 ,   12 ,   12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .33. f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2 . D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 3 ,0 ≤ y ≤ 2 }
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D . f x , y = x y 2 , D = x , y x ≥ 0 , y ≥ 0 ,x 2 + y 2 ≤ 3
Determine os valores máximos e mínimo absolutos de f no conjunto D. f x , y = 3 + y x - x - 2 y , D é a região triangular fechada com vértices 1 , 0 ,5 , 0e1 , 4
36. Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classi
Encontre as dimensões do quadrado retangular com o maior volume se a área da superfície total é dada por 64 cm².