Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 15
Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Maximize o produto de , e , sendo que a os três devem ter uma soma igual a 36”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, a soma deve ser igual a 36).
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Agora, para resolver, o mais sensato é isolar , e nas três primeiras equações. De fato, como , o nosso sisteminha fica
Isolando , nos sobra:
O resultado deste sisteminha fornece . Voltando atrás um pouco, isto nos dá e , voltando mais um pouco, temos .
Logo, o ponto de produto máximo procurado se localiza em: