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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 16

Utilize a transformação x = u 2 - v 2 , y = 2 u v para calcular a integral

∫ 0 1   ∫ 0 2 1 - x   x 2 + y 2 d y d x

(Sugestão: mostre que a imagem da região triangular G com vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 1,1 ) no plano u v é a região de integração R no plano x y definida pelos limites de integração.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão você precisa da transformação x = u 2 - v 2 , y = 2 u v para resolver a integral

∫ 0 1   ∫ 0 2 1 - x   x 2 + y 2 d x d y

Podemos começar? Então, vamos à resolução!

Passo 2

Usando x = u 2 - v 2 , y = 2 u v , aplicaremos o jacobiano:

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = J ( u , v ) = 2 u - 2 v 2 v 2 u J ( u , v ) = 4 u 2 + 4 v 2 J ( u , v ) = 4 u 2 + v 2

Para y = 2 1 - x teremos:

y 2 = 4 ( 1 - x )   ( 2 u v ) 2 = 4 1 - u 2 + v 2 u = ± 1

Com y = 0 , teremos 2 u v = 0

u = 0  ou  v = 0

E para x = 0 teremos:

u 2 - v 2 = 0 u = v  ou  u = - v

O que podemos concluir com esses valores?Essa resolução nos leva a ter quatro regiões triangulares. Entretanto apenas uma dessas regiões se encontra no quadrante onde u e v são positivos estando dentro da região R no plano x y .

Passo 3

Calculando a integral dessa região temos:

  ∫ 0 1     ∫ 0 2 1 - x     x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 1     ∫ 0 u     u 2 - v 2 2 + ( 2 u v ) 2 ⋅ 4 u 2 + v 2 d v d u   ∫ 0 1     ∫ 0 2 1 - x     x 2 + y 2 d x d y = 4 ∫ 0 1     ∫ 0 u     u 2 + v 2 2 d v d u   ∫ 0 1     ∫ 0 2 1 - x     x 2 + y 2 d x d y = 4 ∫ 1 2     u 4 v + 2 3 u 2 v 3 + 1 5 v 5 0 u d u   ∫ 0 1     ∫ 0 2 1 - x     x 2 + y 2 d x d y = 112 15 ∫ 1 2     u 5 d u   ∫ 0 1     ∫ 0 2 1 - x     x 2 + y 2 d x d y = 112 15 1 6 u 6 1 2   ∫ 0 1     ∫ 0 2 1 - x     x 2 + y 2 d x d y = 56 45

Resposta

Portanto, a resposta é ∫ 0 1   ∫ 0 2 1 - x   x 2 + y 2 d x d y = 56 45 .

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