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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4g

Calcule

int sqrt(1 - e^x) d x

Passo 1

Galerinha! Temos uma integral complicadinha de se resolver né? Mas vamos tentar fazer algumas substituições para ver se ela fica com uma carinha mais legal.

Aqui vamos tentar a seguinte substituição para simplificar:

u = sqrt(1 - e^x)

Agora temos que derivar para achar o d u . Mas antes vamos mexer um pouquinho nela para facilitar a derivação.

Note que,

u^2 = 1 - e^x

Derivando,

2 u d u = - e^x d x

Substituindo esse tudo por u

2 u d u = (u^2 - 1) d x

d x = (2 u)/(u^2 - 1) d u

Então:

int sqrt(1 - e^x) d x = int u ((2 u)/(u^2 - 1) d u) = int (2 u^2)/(u^2 - 1) d u

Ainda da melhorar a cara dessa função!

Passo 2

A gente pode reescrever a função dessa forma,

(2 u^2)/(u^2 - 1) = (2 u^2 - 2 + 2)/(u^2 - 1)

Repara que ela continua a mesma coisa, pois o - 2 e + 2 se anulam. Mas a gente fez truque para poder escrever a função dessa forma,

= (2 (u^2 - 1))/(u^2 - 1) + (2)/(u^2 - 1)

Simplificando,

= 2 + (2)/(u^2 - 1)

Pronto, agora podemos separar ela assim,

= 2 + (1)/(u - 1) - (1)/(u + 1)

Assim, teremos:

int (2 u^2)/(u^2 - 1) d u = int (2 + (1)/(u - 1) - (1)/(u + 1)) d u = 2 u + ln |u - 1| - ln |u + 1| + k

Voltando para variável x ,

int sqrt(1 - e^x) d x = 2 sqrt(1 - e^x) + ln ((1 - sqrt(1 - e^x))/(1 + sqrt(1 - e^x))) + k

Resposta

int sqrt(1 - e^x) d x = 2 sqrt(1 - e^x) + ln ((1 - sqrt(1 - e^x))/(1 + sqrt(1 - e^x))) + k

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