Calcule

∫ 1 - e x d x

Passo 1

Galerinha! Temos uma integral complicadinha de se resolver né? Mas vamos tentar fazer algumas substituições para ver se ela fica com uma carinha mais legal.

Aqui vamos tentar a seguinte substituição para simplificar:

u = 1 - e x

Agora temos que derivar para achar o d u . Mas antes vamos mexer um pouquinho nela para facilitar a derivação.

Note que,

u 2 = 1 - e x

Derivando,

2 u   d u = - e x   d x

Substituindo esse tudo por u

2 u   d u = u 2 - 1   d x

d x = 2 u u 2 - 1 d u

Então:

∫ 1 - e x d x = ∫ u 2 u u 2 - 1 d u = ∫ 2 u 2 u 2 - 1 d u

Ainda da melhorar a cara dessa função!

Passo 2

A gente pode reescrever a função dessa forma,

2 u 2 u 2 - 1 = 2 u 2 - 2 + 2 u 2 - 1

Repara que ela continua a mesma coisa, pois o - 2 e + 2 se anulam. Mas a gente fez truque para poder escrever a função dessa forma,

= 2 u 2 - 1 u 2 - 1 + 2 u 2 - 1

Simplificando,

= 2 + 2 u 2 - 1

Pronto, agora podemos separar ela assim,

= 2 + 1 u - 1 - 1 u + 1

Assim, teremos:

∫ 2 u 2 u 2 - 1 d u = ∫ 2 + 1 u - 1 - 1 u + 1 d u = 2 u + ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u + 1 + k

Voltando para variável x ,

∫ 1 - e x d x = 2 1 - e x + ln ⁡ 1 - 1 - e x 1 + 1 - e x + k

Resposta

∫ 1 - e x d x = 2 1 - e x + ln ⁡ 1 - 1 - e x 1 + 1 - e x + k

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