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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 2

Calcule

int_(- 1)^1 (2 x + 1) d x

Passo 1

Primeiro precisamos lembrar de algumas propriedades da integral:

Podemos usar a integral da soma é a soma das integrais:

int_(- 1)^1 (2 x + 1) d x = int_(- 1)^1 2 x d x + int_(- 1)^1 1 d x

Passo 2

Agora só precisamos lembrar que a integral do polinômio é:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Primeiro vamos colocar a constante multiplicando por fora da integral:

int 2 x^1 d x = 2 int x^1 d x , nesse caso n = 1 :

2 int x^1 d x = 2 (x^(n + 1))/(n + 1) = 2 (x^(1 + 1))/(1 + 1) = 2 (x^2)/(2) = x^2

Agora vamos considerar que int d x = int x^0 d x , assim, n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(0 + 1))/(0 + 1) = x

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim:

int_(- 1)^1 (2 x + 1) d x = int_(- 1)^1 2 x d x + int_(- 1)^1 d x = [x^2] (1)/(- 1) + [x] (1)/(- 1) =

= (1^2 - (- 1)^2) + (1 - (- 1)) = (1 - 1) + (1 + 1) = 2

Resposta

int_(- 1)^1 (2 x + 1) d x = 2

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Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de x = 1 y , x = 0 , y = 1 e y = 2 .
Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y = x 2 e y = 1 .
Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y = x e y = x 2 .
Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y x = 4 e x + y = 5 .
Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.