Calcule

int_0^4 sqrt(x) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_0^4 sqrt(x) d x = int_0^4 x^((1)/(2)) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^((1)/(2)) d x , n = (1)/(2)

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(((1)/(2)) + 1))/(((1)/(2)) + 1) = (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2)/(3) x^((3)/(2))

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: int_0^4 sqrt(x) d x = [(2)/(3) x^((3)/(2))] (4)/(0) =

= (2)/(3) (4^((3)/(2)) - 0^((3)/(2))) = (2)/(3) (2^2)^((3)/(2)) = (2)/(3) 2^3 = (2)/(3) xx 8 = (16)/(3)

Resposta

int_0^4 sqrt(x) d x = (16)/(3)

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