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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 1c

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

y = sen ⁡ π x em p = 1

Passo 1

A derivada de f x = y em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

Então:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ π h + 1 - sen ⁡ π h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ π h + π h

Passo 2

Pelo seno da soma temos que:

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Então:

sen ⁡ π h + π = sen ⁡ π h cos ⁡ π + sen ⁡ π cos ⁡ h π = - sen ⁡ π h

Logo:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ π h h

Passo 3

Aplicando uma substituição u = π h , temos:

f ' 1 = lim u → 0 ⁡ - sen ⁡ u u π = - π lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = π ⋅ 1

f ' 1 = - π

Resposta

f ' 1 = - π

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