Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.8 - Ex. 8
As superfícies planas mostradas estão imersas verticalmente em água. Encontre a força do fluido sobre cada superfície.
Passo 1
Como temos uma placa submersa na vertical, podemos usar essa relação:
Onde é o peso específico da água. Precisamos usar o que está na nossa tabelinha e está nas mesmas unidades do enunciado:
E é a largura da placa e a profundidade de cada ponto . (sendo e os limites da placa nessa profundidade).
E sendo o eixo , um eixo vertical para baixo, com a origem () na superfície do líquido.
Vamos começar!
Passo 2
Para achar , vamos ter que usar nossa esperteza. Olha essa figura:
Podemos usar semelhança de triângulos e escrever que:
Como :
Mas repara que a gente tem esse mesmo triângulo do outro lado, e ainda tem uma largura constante de no meio. Então podemos escrever:
Passo 3
Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de . Então, podemos escrever:
E a placa começa em e termina em .
Com tudo isso, nossa integral fica assim:
Passo 4
Agora é só calcular a integral: