Resolva a inequação

b) x^2 - 5x + 6 >= 0

Passo 1

Para resolver essa inequação, primeiro devemos fazer o estudo do sinal dela. Usando a fórmula para as raízes do exercício 9 . Assim x 1 e x 2 são:

x 1 = - b + Δ 2 a ; e   x 2 = - b - Δ 2 a .

Como para esse polinômio a = 1 , b = - 5 e c = 6 o valor de Δ é:

Δ = b 2 - 4 a c = - 5 2 - 4.1 . 6 = 1

E usando as fórmulas para as raízes temos:

x 1 = - - 5 + 1 2.1 = 5 + 1 2 = 3

x 2 = - - 5 - 1 2.1 = 5 - 1 2 = 2

Então a função troca de sinal nos pontos onde x = 2 e x = 3 .

Passo 2

Agora vamos estudar os sinais. O polinômio x 2 - 5 x + 6 troca de sinal em x = 2 e em x = 3 , então devemos ver os sinais antes e depois desses dois valores.

  • Para x = 2 :
  • Testando para valores menores, por exemplo x = 0 temos: 0 2 - 5.0 + 6 > 0

    Testando para valores maiores, por exemplo x = 2,1 temos: 2,1 2 - 5.2,1 + 6 < 0

  • Para x = 3 :

Testando para valores menores, por exemplo x = 2,1 , já vimos que a função assume valores negativos

Testando para valores maiores, por exemplo x = 4 temos: 4 2 - 5.4 + 6 > 0

Resumindo temos: antes de x = 2 positivo, entre 2 e 3 negativo e depois de 3 positivo novamente:

Passo 3

Agora que já temos os sinais, podemos identificar qual é o intervalo de interesse. O problema pede apenas os valores positivos ( incluindo o zero!!) então o intervalo de interesse é antes de x = 2 e depois de x = 3 e em ambos lados fechados:

x ≤ 2   o u   x ≥ 3

Beleza?

Resposta

x ≤ 2   o u   x ≥ 3

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