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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8l

8. Calcule

l ) int (2)/(5 + (x + 2)^2) d x

Passo 1

Podemos perceber que essa integral é parecida com int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k . Para que fiquem ainda mais parecida, faremos

u = x + 2 => d u = d x

Substituindo na integral

int (2)/(5 + (x + 2)^2) d x = int (2)/(5 + u^2) d x = 2 int (1)/((sqrt(5))^2 + u^2) d x = 2 (1)/(sqrt(5)) tan^(- 1) ((u)/(sqrt(5))) + k

= (2)/(sqrt(5)) tan^(- 1) ((x + 2)/(sqrt(5))) + k

Resposta

Portanto,

int (2)/(5 + (x + 2)^2) d x = (2)/(sqrt(5)) tan^(- 1) ((x + 2)/(sqrt(5))) + k

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