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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8m

8. Calcule

m ) int (1)/(x^2 + 4 x + 8) d x

Passo 1

Podemos arrumar o denominador para chegar em algo que conhecemos, primeiro precisamos lembrar do produto notável (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 . Podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x , temos que o único valor de b que poderá resultar no termo 4 x é b = 2 . Ou seja,

Como (x + 2)^2 = x^2 + 2 x + 4 , temos que sobra 4 no denominador

int (1)/(x^2 + 4 x + 8) d x = int (1)/(x^2 + 2 x + 4 + 4) d x = int (1)/((x + 2)^2 + 4) d x = int (1)/(4 + (x + 2)^2) d x

Passo 2

Vemos que essa integral é parecida com int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k . Podemos arrumar a integral que temos de forma a fica ainda mais parecida com a pontuada. Para isso, fazemos

u = x + 2 => d u = d x

Substituindo na integral

int (1)/(4 + (x + 2)^2) d x = int (1)/((2)^2 + u^2) d x = (1)/(2) tan^(- 1) ((u)/(2)) + k = (1)/(2) tan^(- 1) ((x + 2)/(2)) + k

Resposta

Portanto,

int (1)/(x^2 + 4 x + 8) d x = (1)/(2) tan^(- 1) ((x + 2)/(2)) + k

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