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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8o

8. Calcule

o ) int (2)/(x^2 + 2 x + 2) d x

Passo 1

Vamos arrumar o denominador para chegar em algo que conhecemos, primeiro precisamos lembrar do produto notável (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 . Podemos perceber que, no nosso caso, considerando que a = x temos que o único valor de b que poderá resultar no termo 2 x é b = 1 . Ou seja,

Como (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1 , temos que sobra 1 no denominador

int (2)/(x^2 + 2 x + 2) d x = int (2)/(x^2 + 2 x + 1 + 1) d x = int (2)/((x + 1)^2 + 1) d x = 2 int (1)/(1 + (x + 1)^2) d x

Passo 2

Podemos perceber que essa integral é parecida com int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Vamos deixar ela ainda mais parecida com a pontuada fazendo

u = x + 1 => d u = d x

Substituindo na integral

2 int (1)/(1 + (x + 1)^2) d x = 2 int (1)/(1 + u^2) d x = 2 tan^(- 1) u + k = 2 tan^(- 1) ( x + 1 ) + k

Resposta

Logo,

int (2)/(x^2 + 2 x + 2) d x = 2 tan^(- 1) ( x + 1 ) + k

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