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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10t

10. Calcule

t ) int (e^x)/(1 + e^(2 x)) d x

Passo 1

Primeiro, faremos uso da propriedade de potência (a^m)^n = a^(m . n) . Assim,

int (e^x)/(1 + e^(2 x)) d x = int (e^x)/(1 + (e^x)^2) d x

Se derivarmos o termo dentro dos parênteses, teremos o mesmo valor do numerador. Logo, faremos

u = e^x => d u = e^x d x

Substituindo na integral

int (e^x)/(1 + (e^x)^2) d x = int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 2

Podemos perceber que essa integral é do tipo int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Então,

int (1)/(1 + u^2) d u = tan^(- 1) u + k = tan^(- 1) e^x + k

Resposta

Logo,

int (e^x)/(1 + e^(2 x)) d x = tan^(- 1) e^x + k

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