10. Calcule

q )   ∫ e x 1 - e x d x

Passo 1

Podemos perceber que se derivarmos o termo dentro da raiz, teremos algo parecido com o valor no numerador. Então, fazendo

u = 1 - e x   ⇒ d u =   - e x   d x   ⇒ e x   d x = - d u  

Substituindo na integral

∫ e x 1 - e x d x =   ∫ - 1 u d u   =   - ∫ 1 u 1 2   d u =   - ∫ u - 1 2   d u

Passo 2

Lembrando que ∫ x α d x = x α + 1 α + 1 + k . Então,

- ∫ u - 1 2   d u = - 1 1 2 u 1 2 + k = - 2 u + k =   - 2 1 - e x + k

Resposta

Portanto,

∫ e x 1 - e x d x = - 2 1 - e x + k    

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