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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10q

10. Calcule

q ) int (e^x)/(sqrt(1 - e^x)) d x

Passo 1

Podemos perceber que se derivarmos o termo dentro da raiz, teremos algo parecido com o valor no numerador. Então, fazendo

u = 1 - e^x => d u = - e^x d x => e^x d x = - d u

Substituindo na integral

int (e^x)/(sqrt(1 - e^x)) d x = int - (1)/(sqrt(u)) d u = - int (1)/(u^((1)/(2))) d u = - int u^(- (1)/(2)) d u

Passo 2

Lembrando que int x^(alpha) d x = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) + k . Então,

- int u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(((1)/(2))) u^((1)/(2)) + k = - 2 sqrt(u) + k = - 2 sqrt(1 - e^x) + k

Resposta

Portanto,

int (e^x)/(sqrt(1 - e^x)) d x = - 2 sqrt(1 - e^x) + k

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