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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10p

10. Calcule

p ) int (e^x)/(sqrt(1 - e^(2 x))) d x

Passo 1

Primeiro, precisamos usar a propriedade de potência (a^m)^n = a^(m . n) no e^(2 x) .

int (e^x)/(sqrt(1 - e^(2 x))) d x = int (e^x)/(sqrt(1 - (e^x)^2)) d x

Percebemos que se derivarmos o termo dentro dos parênteses teremos algo parecido com o valor no numerador. Logo, faremos

u = e^x => d u = e^x d x

Substituindo na integral

int (e^x)/(sqrt(1 - (e^x)^2)) d x = int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 2

Lembrando que int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = sin^(- 1) x + k

int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = sin^(- 1) u + k = sin^(- 1) e^x + k

Resposta

Logo,

int (e^x)/(sqrt(1 - e^(2 x))) d x = sin^(- 1) e^x + k

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