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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10n

10. Calcule

n ) int (2)/(sqrt(4 - 9 x^2)) d x

Passo 1

Vemos que essa integral é bem parecida com a integral imediata int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = sin^(- 1) x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

Primeiro, vamos fazer o termo 4 se tornar o 1.

int (2)/(sqrt(4 - 9 x^2)) d x = int ((2)/(sqrt(4)))/((sqrt(4 - 9 x^2))/(sqrt(4))) d x = (2)/(2) int (1)/(sqrt((4 - 9 x^2)/(4))) d x = int (1)/(sqrt(1 - (9 x^2)/(4))) d x

= int (1)/(sqrt(1 - ((sqrt(9) x)/(sqrt(4)))^2)) d x = int (1)/(sqrt(1 - ((3 x)/(2))^2)) d x

Passo 2

Para melhorar, faremos

u = (3 x)/(2) => d u = (3)/(2) d x => d x = (2)/(3) d u

Substituindo na integral

int (1)/(sqrt(1 - ((3 x)/(2))^2)) d x = int (1)/(sqrt(1 - u^2)) (2)/(3) d u = (2)/(3) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 3

Resolvendo essa integral imediata

(2)/(3) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = (2)/(3) sin^(- 1) u + k = (2)/(3) sin^(- 1) ((3 x)/(2)) + k

Resposta

Logo,

int (2)/(sqrt(4 - 9 x^2)) d x = (2)/(3) sin^(- 1) ((3 x)/(2)) + k

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