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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10x

10. Calcule

x ) int (x^3)/(1 + x^8) d x

Passo 1

Primeiro, vamos utilizar a propriedade de potência (a^m)^n = a^(m . n)

int (x^3)/(1 + x^8) d x = int (x^3)/(1 + (x^4)^2) d x

Passo 2

Agora, vemos que, se derivarmos o termo dentro dos parênteses, vamos obter algo parecido com o que está no numerador. Então, fazendo

u = x^4 => d u = 4 x^3 d x => x^3 d x = (d u)/(4)

Substituindo na integral

int (x^3)/(1 + (x^4)^2) d x = int (1)/(1 + u^2) (d u)/(4) = (1)/(4) int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 3

Lembrando que int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Logo,

(1)/(4) int (1)/(1 + u^2) d u = (1)/(4) tan^(- 1) u + k = (1)/(4) tan^(- 1) x^4 + k

Resposta

Portanto,

int (x^3)/(1 + x^8) d x = (1)/(4) tan^(- 1) x^4 + k

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