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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 7a

Calcule:

int_0^1 x e^x d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, x e e^x vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

int u d v = u v - int v d u

Assim, vamos usar:

u = x -> d u = d x e v = e^x -> d v = e^x d x

Por que é mais fácil usar assim, já que tanto faz derivar e^x , já se você derivar o x , você vai cair nessa substituição:

int_0^1 x e^x d x = [x e^x - int e^x d x] (1)/(0)

Sendo que é bem fácil de integrar int e^x d x

Caso contrário cairíamos nessa integral:

int_0^1 x e^x d x = [(x^2)/(2) e^x - int (x^2)/(2) e^x d x] (1)/(0)

Que só é mais complicada ainda que a dada na questão

Passo 2

int_0^1 x e^x d x = [x e^x - int e^x d x] (1)/(0)

Agora que temos o lado direito da igualdade, vamos resolver:

Sabemos que:

int e^x d x = e^x

Então, substituindo:

int_0^1 x e^x d x = [x e^x - e^x] (1)/(0)

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F (x) é uma primitiva de f (x) , então podemos dizer que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Então vamos usar que o nosso F (x) = x e^x - e^x , e a = 0 e b = 1 :

int_0^1 x e^x d x = (1) e^1 - e^1 - ((0) e^0 - e^0)

int_0^1 x e^x d x = e - e - (- 1)

int_0^1 x e^x d x = 1

Resposta

int_0^1 x e^x d x = 1

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