Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 32

Calcule a integral definida:

int_4^8 (d w)/((w^2 - 4)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui, para resolver a integral indefinida, é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos w^2 - 4 = w^2 - 2^2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser w = 2 sec theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[w,=,2,sec theta],[d,w,=,2,sec theta,tan theta,d,theta]]

Dessa forma, w^2 = 4 sec^2 theta -> w^2 - 4 = 4 sec^2 theta - 4 = 4 overset(tan^2 theta)(obrace (sec^2 theta - 1)) = 2^2 tan^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d w)/((w^2 - 4)^((3)/(2))) = int (2 sec theta tan theta d theta)/((2^2 tan^2 theta)^((3)/(2))) = 2 int (sec theta tan theta d theta)/(2^3 tan^3 theta) = (1)/(4) int (sec theta d theta)/(tan^2 theta)

= (1)/(4) int (sec theta d theta)/(tan^2 theta) = (1)/(4) int ((1)/(cos theta))/((sen^2 theta)/(cos^2 theta)) d theta = (1)/(4) int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta

Agora nós vamos fazer a substituição simples sen theta = x -> cos theta d theta = d x . Daí ficamos com:

(1)/(4) int (cos theta)/(sen^2 theta) d theta = (1)/(4) int (d x)/(x^2) = (1)/(4) int x^(- 2) d x = (1)/(4) * (x^(- 2 + 1))/(( - 2 + 1 )) + C = (x^(- 1))/(- 4) + C = (1)/(- 4 sen theta) + C

Prontinho.

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável w , devemos dar a resposta nesta variável. Vamos olhar a expressão do seno no quadrinho inicial. Olhando lá, nós temos a seguinte relação:

sen theta = (sqrt(w^2 - a^2))/(w) = (sqrt(w^2 - 4))/(w)

Lembre-se que no quadrinho está x , mas nós fizemos a substituição com w .

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d w)/((w^2 - 4)^((3)/(2))) = (1)/(- 4 sen theta) + C = (1)/(- 4 (sqrt(w^2 - 4))/(w)) + C = (w)/(- 4 sqrt(w^2 - 4)) + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_4^8 (d w)/((w^2 - 4)^((3)/(2))) = ((w)/(- 4 sqrt(w^2 - 4))|_4^8 = (8)/(- 4 sqrt(8^2 - 4)) - (4)/(- 4 sqrt(4^2 - 4))

= (2)/(- sqrt(60)) + (1)/(sqrt(12)) = (2)/(- 2 sqrt(15)) + (1)/(2 sqrt(3)) = (1)/(2 sqrt(3)) - (1)/(sqrt(15))

E esse é o resultado procurado.

Resposta

int_4^8 (d w)/((w^2 - 4)^((3)/(2))) = (1)/(2 sqrt(3)) - (1)/(sqrt(15))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral ∫ x 2 - a 2 x 4 d x
Calcule a integralint (d x)/([(a x)^2 - b^2]^((3)/(2)))
Calcule a integral ∫ 5 + 4 x - x 2d x
Calcule a integral ∫ x 2 + 2 xd x
Calcule a integral ∫ 0 a x 2 a 2 - x 2 d x