Calcule a integral definida:

∫ 4 8 d w w 2 - 4 3 2

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui, para resolver a integral indefinida, é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos w 2 - 4 = w 2 - 2 2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser w = 2 sec ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

w = 2 sec ⁡ θ d w = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Dessa forma, w 2 = 4 sec 2 ⁡ θ     →     w 2 - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 4 = 4 sec 2 ⁡ θ - 1 ⏞ tan 2 ⁡ θ = 2 2 tan 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d w w 2 - 4 3 2 = ∫ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 2 2 tan 2 ⁡ θ 3 2 = 2 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ 2 3 tan 3 ⁡ θ = 1 4 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ

= 1 4 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ = 1 4 ∫ 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 4 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Agora nós vamos fazer a substituição simples sen ⁡ θ = x     →     cos ⁡ θ d θ = d x . Daí ficamos com:

1 4 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = 1 4 ∫ d x x 2 = 1 4 ∫ x - 2 d x = 1 4 ⋅ x - 2 + 1 ( - 2 + 1 ) + C = x - 1 - 4 + C = 1 - 4 sen ⁡ θ + C

Prontinho.

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável w , devemos dar a resposta nesta variável. Vamos olhar a expressão do seno no quadrinho inicial. Olhando lá, nós temos a seguinte relação:

sen ⁡ θ = w 2 - a 2 w = w 2 - 4 w

Lembre-se que no quadrinho está x , mas nós fizemos a substituição com w .

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d w w 2 - 4 3 2 = 1 - 4 sen ⁡ θ + C = 1 - 4 w 2 - 4 w + C = w - 4 w 2 - 4 + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 4 8 d w w 2 - 4 3 2 = w - 4 w 2 - 4 4 8 = 8 - 4 8 2 - 4 - 4 - 4 4 2 - 4

= 2 - 60 + 1 12 = 2 - 2 15 + 1 2 3 = 1 2 3 - 1 15

E esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 4 8 d w w 2 - 4 3 2 = 1 2 3 - 1 15

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