Determine o polinômio de Taylor de ordem 5, de g(x) = artg(x) em volta de x = 0 :

Passo 1

Bem, vamos utilizar a formula do polinômio de Taylor:

P x = f x 0 +   f ' x x - x 0 + f ' ' x 2 !   x - x 0 2 + … + f n x 0 n !   x - x 0 n

Para o polinômio de ordem 5, em volta de x =0, temos: :

P x = g 0 + g ' 0 x + g ' ' 0 x 2 2 ! + g 3 0 x 3 3 ! + g 4 0 x 4 4 ! + g 5 0 x 5 5 !  

Então vamos calcular as derivadas:

Primeira derivada,

g ' x = 1 x 2 + 1

Segunda derivada,

g ' ' x = - 2 x x 2 + 1 2

Terceira derivada,

g ' ' ' x = - 2 x 2 + 1 2 + 8 x 2 x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) ⁴ = - 2 + 6 x 2 x 2 + 1 3  

Quarta derivada,

g ( 4 )   x = 12 x x 2 + 1 3 - - 2 + 6 x 2 6 x x 2 + 1 2 x 2 + 1   6

g ( 4 )   x = 12 x x 2 + 1   - - 2 + 6 x 2 6 x x 2 + 1   4 =   - 24 x 3 + 24 x   x 2 + 1   4

Quinta derivada,

g 5 x = ( 72 x 2 - 24 ) x 2 + 1 4 - 24   x 3 - 24 x 8 x x 2 + 1 3 x 2 + 1 8  

g 5 x = ( 72 x 2 - 24 ) x 2 + 1   - 24   x 3 - 24 x 8 x     x 2 + 1 5  

g 5 x = - 24 5 x 4 - 10 x 2 - 1 x 2 + 1 5

Passo 2

Agora, precisamos das derivadas no ponto x 0 = 0   . Dessa forma, podemos perceber que nas derivadas de números pares o resultado é zero. Nos outros casos, temos:

g ' 0 = 1 ,   g ' ' ' 0 = - 2 , g 5 0 = 24

Dessa forma, colocando dentro dos polinômios de Taylor:

P x = x + ( - 2 ) x 3 3 ! + 24 x 5 5 !

P x = x - x 3 3 + x 5 5

Resposta

P x = x - x 3 3 + x 5 5

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