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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10i

10. Calcule

i ) int (5)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x

Passo 1

Podemos perceber que essa integral é do tipo int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = sin^(- 1) x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

int (5)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = int (5)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x = 5 int (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x

Passo 2

Agora, para fica igual, faremos

u = 2 x => d u = 2 d x => d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral

5 int (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x = 5 int (1)/(sqrt(1 - u^2)) (d u)/(2) = (5)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 3

Resolvendo essa integral

(5)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = (5)/(2) sin^(- 1) u + k = (5)/(2) sin^(- 1) 2 x + k

Resposta

Portanto,

int (5)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = (5)/(2) sin^(- 1) 2 x + k

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