Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x₀ dado.

f(x) = raiz cúbica (x) e x₀ = 1

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 2 vamos ter:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada segunda de f x e aplicar o ponto x 0 = 1 , vamos lá:

f x = x 3 → f 1 = 1 3 = 1

f ' x = f ' x 3 = 1 3 x 2 3 → f ' 1 = 1 3 ⋅ 1 2 3 = 1 3

f ' ' x = f ' ' 1 3 x 2 3 = - 2 9 x 5 3 → f ' ' 1 = - 2 9 ⋅ 1 5 3 = - 2 9

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 = 1 + 1 3 x - 1 + - 2 9 2 x - 1 2 = 1 + 1 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2

Resposta

P x = 1 + 1 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2

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