Enunciado

Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x 0 dado.

f x = x 3 e x 0 = 1

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 2 vamos ter:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada segunda de f x e aplicar o ponto x 0 = 1 , vamos lá:

f x = x 3 → f 1 = 1 3 = 1

f ' x = f ' x 3 = 1 3 x 2 3 → f ' 1 = 1 3 ⋅ 1 2 3 = 1 3

f ' ' x = f ' ' 1 3 x 2 3 = - 2 9 x 5 3 → f ' ' 1 = - 2 9 ⋅ 1 5 3 = - 2 9

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 = 1 + 1 3 x - 1 + - 2 9 2 x - 1 2 = 1 + 1 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2

Resposta

P x = 1 + 1 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2

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Seja f x = 1 1 + x 2 a)Mostre que P x = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10 é o polinômio de Taylor, de ordem 10 de f em volta de x 0 = 0 b)c)
Verifique que x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 nx n + 1 n + 1 é o polinômio de Taylor,de ordem n+1 , de l n ⁡ ( x + 1 ) em volta de 0.
Verifique que 1 + t + t 2 + … + t n = 1 - t n + 1 1 - t ( t ≠ 1 ) . Conclua que, se t1 , lim n → ∞ ⁡ 1 + t + t 2 + … + t n = 1 1 - t Ou seja, 1 1 - t = 1 + t + t 2 + …
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.14. f x = 1 - x - 1 2 ; a = 0 ; n = 3
Estime o erro que se comete quando 1 + x é substituído por 1 + 1 2 x ² ² se 0x0,01 .