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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10c

10. Calcule

c ) int (x)/(16 - x^4) d x

Passo 1

Primeiro, vamos utilizar a propriedade de potência (a^m)^n = a^(m . n)

int (x)/(16 - x^4) d x = int (x)/(16 - ( x^2 )^2) d x

Passo 2

Agora, vemos que, se derivarmos o termo dentro dos parênteses, vamos obter algo parecido com o que está no numerador. Então, fazendo

u = x^2 => d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral

int (x)/(16 - ( x^2 )^2) d x = int (1)/(4^2 - u^2) (d u)/(2) = (1)/(2) int (1)/(4^2 - u^2) d u

Passo 3

Sabemos que essa integral é do tipo int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k . Logo,

(1)/(2) int (1)/(4^2 - u^2) d u = (1)/(2) (1)/(4) tan^(- 1) (u)/(4) + k = (1)/(8) tan^(- 1) (x^2)/(4) + k

Resposta

Portanto,

int (x)/(16 - x^4) d x = (1)/(8) tan^(- 1) (x^2)/(4) + k

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