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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 9a

9. Sejam alpha != 0 e beta constantes. Verifique que

a ) int (1)/(x^2 - alpha^2) d x = (1)/(2 alpha) ln |(x - alpha)/(x + alpha)| + k

Passo 1

Podemos ver que a função dentro da nossa integral não é parecida com essa fórmula do exercício 5. Então, para melhorar podemos ver que o denominador é uma fatoração do tipo a^2 - b^2 = ( a + b ) ( a - b ) . Logo,

int (1)/(x^2 - alpha^2) d x = int (1)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x - beta) .

(1)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x + alpha)

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

(1)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) = (A)/(x - alpha) (( x + alpha ))/(( x + alpha )) + (B)/(x + alpha) (( x - alpha ))/(( x - alpha ))

(1)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) = (A ( x + alpha ))/(( x - alpha ) ( x + alpha )) + (B ( x - alpha ))/(( x + alpha ) ( x - alpha ))

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo termo, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x + 2 ) . Assim,

1 = A (x + alpha) + B (x - alpha)

1 = x A + alpha A + x B - alpha B

1 = (A + B) x + alpha ( A - B )

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 0 , pois 0 = 0 x ; e, como o termo independente é 1 , n = 1 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = alpha ( A - B ) . Então, montando o sistema:

{[[A + B = 0],[alpha (A - B) = 1]])

=> A + B = 0 => B = - A (1)

=> alpha (A - B) = 1 (2)

Substituindo (1) em (2)

alpha (A - B) = 1 => alpha (A - ( - A )) = 1 => 2 alpha A = 1 => A = (1)/(2 a)

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = - (1)/(2 alpha)

Logo,

(1)/((x - alpha) (x + alpha)) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x + alpha)

(x)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) = ((1)/(2 alpha))/(x - alpha) + (- (1)/(2 alpha))/(x + alpha)

(x)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) = (1)/(2 alpha ( x - alpha )) - (1)/(2 alpha ( x + alpha ))

Passo 3

Substituindo na integral

int (x)/(( x - alpha ) ( x + alpha )) d x = int ((1)/(2 alpha (x - alpha)) - (1)/(2 alpha (x + alpha))) d x

= int (1)/(2 alpha (x - alpha)) d x - int (1)/(2 alpha (x + alpha)) d x

Para a primeira integral, fazendo u = x - alpha => d u = d x

int (1)/(2 alpha (x - alpha)) d x = (1)/(2 alpha) int (1)/((x - alpha)) d x = (1)/(2 alpha) int (1)/(u) d u = (1)/(2 alpha) ln |u| + k = (1)/(2 alpha) ln |x - alpha| + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + alpha => d u = d x

int (1)/(2 alpha (x + alpha)) d x = (1)/(2 alpha) int (1)/((x + alpha)) d x = (1)/(2 alpha) int (1)/(u) d u = (1)/(2 alpha) ln |u| + k = (1)/(2 alpha) ln |x + alpha| + k

Portanto,

int (1)/(2 alpha (x - alpha)) d x - int (1)/(2 alpha (x + alpha)) d x = (1)/(2 alpha) ln |x - alpha| - (1)/(2 alpha) ln |x + alpha| + k

(1)/(2 alpha) (ln |x - alpha| - ln |x + alpha|) + k

Pela propriedade de logaritmos, temos log ((a)/(b)) = log a - log b . Logo,

(1)/(2 alpha) (ln |x - alpha| - ln |x + alpha|) + k = (1)/(2 alpha) ln |(x - alpha)/(x + alpha)| + k

Portanto, verificamos que

int (1)/(x^2 - alpha^2) d x = (1)/(2 alpha) ln |(x - alpha)/(x + alpha)| + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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