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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1i

Calcule.

int_0^2 e^(2 x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 -> u = 2 * 0 = 0

x = 2 -> u = 2 * 2 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

int_0^2 e^(2 x) d x = int_0^4 (e^u)/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (e^u)/(2) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int e^x d x = e^x + C

Agora é só aplicar:

int (e^u)/(2) d u = (1)/(2) int e^u d u = (1)/(2) e^u + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^4 (e^u)/(2) d u = ((1)/(2) e^u)_0^4 = (1)/(2) e^4 - (1)/(2) e^0 = (e^4)/(2) - (1)/(2)

Resposta

int_0^2 e^(2 x) d x = (e^4)/(2) - (1)/(2)

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