34- Determine o desenvolvimento de Taylor de P(x) = x^3 + 2x + 3, em potências de (x - 1) .

Passo 1

Sabemos que P x = P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ x o 3 ! x - x o 3 . Para P x = x 3 + 2 x + 3   e x o = 1 , teremos

P x = P 1 +   P ' 1 x - 1 +   P " ( 1 )   2 ! x - 1 2 + P ´ ´ ´ 1 3 ! x - 1 3

Passo 2

Agora, calculemos as derivadas de P x até a 3.a ordem.

P ' x = 2 + 3 x 2

P ' ' x = 6 x

P ' ' ' x = 6

Substituindo x por 1 em cada uma das derivadas acima, teremos:

P ' 1 = 5

P ' ' 1 = 6

P ' ' ' 1 = 6

Além disso, P 1 = 6 .

Passo 3

Portanto,

P x = 6 +   5 x - 1 +   6   2 ! x - 1 2 + 6 3 ! x - 1 3 = 6 + 5 x - 1 +   3 x - 1 2 + x - 1 3

Resposta

P x = 6 + 5 x - 1 +   3 x - 1 2 + x - 1 3

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