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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 53

int_0^((pi)/(3)) [s e n (x) + s e n (2 x)] d x

Passo 1

Separando a integral em duas, percebe-se que a primeira é simples de calcular. Na segunda podemos utilizar uma relação trigonométrica conhecida: s e n (2 x) = 2 s e n (x) . c o s ( x ) .

[- cos (x)]_0^((pi)/(3)) + 2 . int_0^((pi)/(3)) s e n (x) . cos (x) d x = (1)/(2) + 2 . int_0^((pi)/(3)) s e n (x) . cos (x) d x

Passo 2

Para resolver a segunda integral, podemos usar uma substituição simples:

u = s e n (x) ; d u = cos (x) d x . Ajustando os limites de integração, temos:

(1)/(2) + 2 . int_0^((sqrt(3))/(2)) u d u = (1)/(2) + 2 ((u^2)/(2))_0^((sqrt(3))/(2)) = (1)/(2) + (((sqrt(3))/(2))^2 - 0^2)

= (1)/(2) + (3)/(4) = (5)/(4)

Resposta

(5)/(4)

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