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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 13

Suponha f ´ ´ ´ contínua em [a , b] . Conclua do Exercício 12 que

f (b) = f (a) + f ´ (a) (b - a) + (f ´ ´ (a))/(2) (b - a)^2 + int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t

Passo 1

Vamos utilizar a integração por partes para fazer a integral dada

int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t

Que é utilizado dessa maneira:

int_a^b u d v = [u v] (b)/(a) - int_a^b v d u

Vamos resolver a integral usando isso para conferir

Passo 2

Vamos usar para a integral u = ((b - t)^2)/(2) -> d u = (2 (b - t))/(2) xx (- 1) d t = (t - b) d t e v = f ´ ´ (t) -> d v = f ´ ´ ´ (t) d t , assim:

int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) - int_a^b f ´ ´ (t) (t - b) d t

int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) + int_a^b f ´ ´ (t) (b - t) d t

Para fazer a integral do outro lado. Vamos usar novamente a integração por partes:

u = (b - t) -> d u = - d t e v = f ´ (t) -> d v = f ´ ´ (t) d t

int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) + int_a^b f ´ (t) d t

O termo [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) , vai ficar:

[f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) = f ´ ´ (b) ((b - b)^2)/(2) - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) = - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2)

Esse termo [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) vai ser resolvido assim:

[f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) = f ´ (b) (b - b) - f ´ (a) (b - a) = - f ´ (a) (b - a)

E a integral de dentro vai ficar:

int_a^b f ´ (t) d t = [f (t)] (b)/(a) = f (b) - f (a)

Substituindo:

int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) - f ´ (a) (b - a) + f (b) - f (a)

Passo 3

Agora só precisamos de isolar o f (b) :

int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) - f ´ (a) (b - a) + f (b) - f (a)

f (b) = f (a) + f ´ (a) (b - a) + f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) + int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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