Suponha f ´ ´ ´ contínua em [a , b] . Conclua do Exercício 12 que f (b) = f (a) + f ´ (a) (b - a) + (f ´ ´ (a))/(2) (b - a)^2 + int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t Passo 1Vamos utilizar a integração por partes para fazer a integral dada int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t Que é utilizado dessa maneira: int_a^b u d v = [u v] (b)/(a) - int_a^b v d u Vamos resolver a integral usando isso para conferir Passo 2Vamos usar para a integral u = ((b - t)^2)/(2) -> d u = (2 (b - t))/(2) xx (- 1) d t = (t - b) d t e v = f ´ ´ (t) -> d v = f ´ ´ ´ (t) d t , assim: int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) - int_a^b f ´ ´ (t) (t - b) d t int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) + int_a^b f ´ ´ (t) (b - t) d t Para fazer a integral do outro lado. Vamos usar novamente a integração por partes: u = (b - t) -> d u = - d t e v = f ´ (t) -> d v = f ´ ´ (t) d t int_a^b (b - t) f ´ ´ (t) d t = [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) + int_a^b f ´ (t) d t O termo [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) , vai ficar: [f ´ ´ (t) ((b - t)^2)/(2)] (b)/(a) = f ´ ´ (b) ((b - b)^2)/(2) - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) = - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) Esse termo [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) vai ser resolvido assim: [f ´ (t) (b - t)] (b)/(a) = f ´ (b) (b - b) - f ´ (a) (b - a) = - f ´ (a) (b - a) E a integral de dentro vai ficar: int_a^b f ´ (t) d t = [f (t)] (b)/(a) = f (b) - f (a) Substituindo: int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) - f ´ (a) (b - a) + f (b) - f (a) Passo 3Agora só precisamos de isolar o f (b) : int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t = - f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) - f ´ (a) (b - a) + f (b) - f (a) f (b) = f (a) + f ´ (a) (b - a) + f ´ ´ (a) ((b - a)^2)/(2) + int_a^b ((b - t)^2)/(2) f ´ ´ ´ (t) d t RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosResolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x ln x d xResolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ e x cos x 2 d xResolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ ln ( 1 - x ) d xResolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ e a x s e nb xd xResolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x 2 e x d xVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integração por PartesVer exercício 12.3 - 12Ver exercício 12.10 - 2h