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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1b

Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

int int int_B f (x , y , z) d x d y d z = int int_K [int_(g (x , y))^(h (x , y)) f (x , y , z) d z] d x d y

Em que:

B = {(x , y , z) | g (x , y) <= z <= h (x , y) , (x , y) in K}

Que também pode ser representado por:

= int int_K [int_(g (y , z))^(h (y , z)) f (x , y , z) d x] d y d z

B = {(x , y , z) | g (y , z) <= z <= h (y , z) , (y , z) in K}

= int int_K [int_(g (x , z))^(h (x , z)) f (x , y , z) d y] d x d z

B = {(x , y , z) | g (x , z) <= z <= h (x , z) , (x , z) in K}

Passo 2

Logo:

int int int_B x d x d y d z = int int_K [int_(x + y)^(x + y + 1) x d z] d x d y

Neste caso, K é dado por:

0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Resolvendo a primeira integral:

= int int_K x [z] | [[x,+,y,+,1],[x,+,y]] d x d y

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= int int_K x [x + y + 1 - (x + y)] d x d y = int int_K x d x d y

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= int int_K x d x d y = int_0^1 x [int_0^1 d y] d x

= int_0^1 x [y] | [[1],[0]] d x

Substituindo o intervalo de integração:

= int_0^1 x d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= [(x^2)/(2)] | [[1],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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