Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

∫ ∫ ∫ B f x ,   y ,   z d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ g x ,   y h x ,   y f x ,   y ,   z d z d x d y

Em que:

B = x ,   y ,   z | g x ,   y ≤ z ≤ h x ,   y ,   x ,   y ∈ K

Que também pode ser representado por:

= ∫ ∫ K ∫ g y ,   z h y ,   z f x ,   y ,   z d x d y d z

B = x ,   y ,   z | g y ,   z ≤ z ≤ h y ,   z ,   y ,   z ∈ K

= ∫ ∫ K ∫ g x ,   z h x ,   z f x ,   y ,   z d y d x d z

B = x ,   y ,   z | g x ,   z ≤ z ≤ h x ,   z ,   x ,   z ∈ K

Passo 2

Logo:

∫ ∫ ∫ B x d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ x + y x + y + 1 x d z d x d y

Neste caso, K é dado por:

0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1

Resolvendo a primeira integral:

= ∫ ∫ K x z | x + y + 1 x + y d x d y

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= ∫ ∫ K x x + y + 1 - x + y d x d y = ∫ ∫ K x d x d y

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= ∫ ∫ K x d x d y = ∫ 0 1 x ∫ 0 1 d y d x

= ∫ 0 1 x y | 1 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 1 x d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= x 2 2 | 1 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 2

Resposta

1 2

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