Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um cardioide e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um cardioide que já foi dada a equação, então as novas variáveis serão dadas por:

0 ≤ ρ ≤ 1 - c o s θ

E

0 ≤ θ ≤ 2 π

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1 - c o s θ   e   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ c o s θ ρ d ρ d θ

∫ 0 2 π c o s θ ∫ 0 1 - c o s θ ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

∫ 0 2 π c o s θ ρ 3 3 | 1 - c o s θ 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

1 3 ∫ 0 2 π c o s θ 1 - c o s θ 3 d θ

= 1 3 ∫ 0 2 π c o s θ - 3 c o s 2 θ + 3 c o s 3 θ - c o s 4 θ d θ

Para os termos com expoente par e ímpar, deve-se utilizar, respectivamente, as identidades trigonométricas:

c o s 2 n x = 1 + c o s 2 n x 2

E

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Com isso:

= 1 3 ∫ 0 2 π c o s θ - 3 1 + cos ⁡ 2 θ 2 + 3 c o s θ 1 - s e n 2 θ - 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2 d θ

Juntando termos semelhantes:

= 1 3 ∫ 0 2 π 4 c o s θ - 3 2 + cos ⁡ 2 θ 2 + 3 c o s θ s e n 2 θ - 1 4 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + c o s 2 2 θ d θ

= 1 3 ∫ 0 2 π 4 c o s θ - 7 4 + 3 c o s θ s e n 2 θ - 1 4 c o s 2 2 θ d θ

E aplicando uma substituição novamente:

= 1 3 ∫ 0 2 π 4 c o s θ - 7 4 + 3 c o s θ s e n 2 θ - 1 4 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ

= 1 3 ∫ 0 2 π 4 c o s θ - 15 8 + 3 c o s θ s e n 2 θ - 1 8 cos ⁡ 4 θ d θ

Passo 4

Para o terceiro termo, utiliza-se do método de integração por substituição simples com u = s e n θ e d u = c o s θ d θ :

∫ c o s θ s e n 2 θ d θ = ∫ u 2 d u = u 3 3 → s e n 3 θ 3

Então:

= 1 3 4 s e n θ - 15 8 θ + 3 s e n 3 θ 3 - 1 32 s e n 4 θ | 2 π 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 - 15 8 2 π = - 5 4 π

Resposta

- 5 4 π

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