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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1g

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um cardioide e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um cardioide que já foi dada a equação, então as novas variáveis serão dadas por:

0 <= rho <= 1 - c o s theta

E

0 <= theta <= 2 pi

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 1 - c o s theta e 0 <= theta <= 2 pi}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B x d x d y = int int_B_rho theta (rho c o s theta) rho d rho d theta

int_0^(2 pi) [c o s theta int_0^(1 - c o s theta) rho^2 d rho] d theta

E, resolvendo-a:

int_0^(2 pi) c o s theta [(rho^3)/(3)] | [[1,-,c,o,s,theta],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

(1)/(3) int_0^(2 pi) c o s theta [(1 - c o s theta)^3] d theta

= (1)/(3) int_0^(2 pi) [c o s theta - 3 c o s^2 theta + 3 c o s^3 theta - c o s^4 theta] d theta

Para os termos com expoente par e ímpar, deve-se utilizar, respectivamente, as identidades trigonométricas:

c o s^2 (n x) = (1 + c o s (2 n x))/(2)

E

c o s^2 x = 1 - s e n^2 x

Com isso:

= (1)/(3) int_0^(2 pi) [c o s theta - 3 ((1 + cos (2 theta))/(2)) + 3 c o s theta (1 - s e n^2 theta) - ((1 + cos (2 theta))/(2))^2] d theta

Juntando termos semelhantes:

= (1)/(3) int_0^(2 pi) [4 c o s theta - (3)/(2) + (cos (2 theta))/(2) + 3 c o s theta s e n^2 theta - (1)/(4) (1 + 2 cos (2 theta) + c o s^2 (2 theta))] d theta

= (1)/(3) int_0^(2 pi) [4 c o s theta - (7)/(4) + 3 c o s theta s e n^2 theta - (1)/(4) (c o s^2 (2 theta))] d theta

E aplicando uma substituição novamente:

= (1)/(3) int_0^(2 pi) [4 c o s theta - (7)/(4) + 3 c o s theta s e n^2 theta - (1)/(4) ((1 + cos (4 theta))/(2))] d theta

= (1)/(3) int_0^(2 pi) [4 c o s theta - (15)/(8) + 3 c o s theta s e n^2 theta - (1)/(8) cos (4 theta)] d theta

Passo 4

Para o terceiro termo, utiliza-se do método de integração por substituição simples com u = s e n theta e d u = c o s theta d theta :

int c o s theta s e n^2 theta d theta = int u^2 d u = (u^3)/(3) -> (s e n^3 theta)/(3)

Então:

= (1)/(3) [4 s e n theta - (15)/(8) theta + 3 (s e n^3 theta)/(3) - (1)/(32) s e n (4 theta)] | [[2,pi],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) [- (15)/(8) (2 pi)] = - (5)/(4) pi

Resposta

- (5)/(4) pi

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