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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 15a

Um escoamento é representado pelo campo de velocidade

v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k →

Verificar se o escoamento é:

a) um possível escoamento incompressível;

Passo 1

Queremos identificar se o fluido é incompressível, ou compressível, para isso precisamos calcular div ⁡ v → . Isso é porque, pela equação da continuidade

div ⁡ u → + ∂ ρ ∂ t = 0

∂ ρ ∂ t = - div ⁡ u →

o fluido será incompressível se div ⁡ u → = 0 .

Passo 2

Queremos encontrar div ⁡ v → , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ v → = ∂ v 1 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y + ∂ v 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em v → temos:

div ⁡ v → = ∂ ∂ x y 2 + z 2 + ∂ ∂ y x z + ∂ ∂ z 2 x 2 y 2

div ⁡ v → = 0 + 0 + 0

div ⁡ v → = 0

Temos então que o fluido é incompressível.

Resposta

Fluido incompressível

div ⁡ v → = 0

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Calcule o rotacional. F → x , y , z = x y i → - x 2 j →
Considere o campo de força central g → x , y = f r → r → onde f :R → R é uma função derivável e r → = x i → + y j → . Calcule r o tg → .
Considere o escoamento v → x , y =- y ( x 2 + y 2 ) α i → + x ( x 2 + y 2 ) α j → Onde α0 é uma constante. Verifique que r o tv → x , y ≠ 0 → para α ≠ 1 .
Considere o escoamento bidimensional v → x , y =- y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → .Desenhe tal campo.Calcule r o tv → e interprete-o.
Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord