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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 12

Calcule aproximadamente sqrt((0,01)^2 + (3,02)^2 + (3,9)^2) .

Passo 1

Vamos definir uma função

w = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

E então podemos aproximar sqrt((0,01)^2 + (3,02)^2 + (3,9)^2) pela diferencial em x = 0 , y = 3 e z = 4 variando até x = 0 , 01 , y = 3 , 02 e z = 3,9 .

Encontrando o diferencial

d w = (del f)/(del x) (x , y , z) d x + (del f)/(del y) (x , y , z) d y + (del f)/(del z) (x , y , z) d z

Calculando as derivadas

(del f)/(del x) (x , y , z) = (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

(del f)/(del y) (x , y , z) = (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

(del f)/(del z) (x , y , z) = (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Substituindo da fórmula

d w = (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) d x + (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) d y + (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) d z

Passo 2

Quando x = 0 , y = 3 e z = 4 , a função

w = sqrt(0^2 + 3^2 + 4^2)

w = sqrt(9 + 16) = sqrt(25)

w = 5

E a diferencial

d w = (0)/(5) d x + (3)/(5) d y + (4)/(5) d z

d w = (3)/(5) d y + (4)/(5) d z

Então vamos aproximar Delta w pela diferencial com d x = 0,01 , d y = 0 , 02 e d z = - 0,1

Delta w tildetilde (3)/(5) ( 0,02 ) + (4)/(5) (- 0,1)

Delta w tildetilde - 0,068

E temos

sqrt((0,01)^2 + (3,02)^2 + (3,9)^2) tildetilde w + Delta w

sqrt((0,01)^2 + (3,02)^2 + (3,9)^2) tildetilde 5 - 0,068

sqrt((0,01)^2 + (3,02)^2 + (3,9)^2) tildetilde 4,932

Resposta

sqrt((0,01)^2 + (3,02)^2 + (3,9)^2) tildetilde 4,932

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